Università degli Studi di Perugia

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Mercoledì, Novembre 26, 2025 10:21

ELEMENTI DI MATEMATICA

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN FARMACIA

ANNO ACCADEMICO IN CORSO (2025-2026)

ATTENZIONE!!

Ho parlato con la Coordinatrice del Corso, che ha detto che il 65% va calcolato NON su 37 ore, ma su 24 ore (perché, delle 37 ore, 24 ore sono di CFU e 13 di didattica integrativa, e le firme di frequenza vanno calcolate SUI CFU).

Pertanto il nuovo minimo TASSATIVO è di 15 ore, che corrisponde al 62,5% di 24 ore.

Il docente, A.Boccuto

A T T E N Z I O N E !!!

PER GLI STUDENTI DEL I ANNO DI FARMACIA CHE HANNO LA FIRMA DI FREQUENZA E ANCHE PER GLI STUDENTI DEL SECONDO ANNO CHE NON HANNO LA FIRMA DI FREQUENZA 2024/2025, MA CHE HANNO LA FIRMA DI FREQUENZA 2025/2026

si veda anche https://boccuto.sites.dmi.unipg.it/corso-farmacia.htm

REGOLE PER I COLLOQUI/ESAMI DI MATEMATICA si veda https://boccuto.sites.dmi.unipg.it/corso-farmacia.htm

1)LA FINESTRA, cioè il PERIODO IN CUI E’ POSSIBILE SOSTENERE I COLLOQUI DI MATEMATICA, si apre il 12 GENNAIO 2026, E L’ESAME NON PUO’ ESSERE SOSTENUTO PRIMA. NON E’ POSSIBILE PRENOTARE PRIMA DEL 2 GENNAIO 2026. E’ possibile prenotare solo a partire dal 2 gennaio 2026.

PER TUTTI GLI ALTRI STUDENTI: TENERE CONTO DELLA PAUSA NATALIZIA 2025/2026

1bis) ATTENZIONE!

Le prenotazioni per i colloqui e gli esami di Matematica prima di Natale terminano tassativamente alle ore 23.59 ORA ITALIANA del 12 dicembre 2025, e l'ultima data utile per sostenere i colloqui/esami prima della pausa natalizia è il 19 dicembre 2025. La pausa natalizia finirà l’11 gennaio 2026, nel senso che il 12 gennaio 2026 sarà il primo giorno utile per sostenere i colloqui/esami di Matematica dopo la pausa natalizia (e quindi le prenotazioni si potranno rifare a partire dal 2 gennaio 2026).

Il docente, A. Boccuto

2)Le prenotazioni per i colloqui di MATEMATICA sono da fare ESCLUSIVAMENTE per Email all’indirizzo antonio.boccuto@unipg.it solo se siete PREPARATISSIMI.

3)NON INDICARE DATE, NE’ GIORNO NE’ SETTIMANA, LIMITANDOSI A DIRE SEMPLICEMENTE:

“Sono lo studente X. Y., NUMERO DI MATRICOLA zzzzzz. Desidererei sostenere il colloquio di Matematica sulla parte … /sulle parti …” e basta, senza aggiungere periodi di tempo.

[Tanto sapete che l’esame sarà da 7 a 10 giorni dopo la data della richiesta della prenotazione]

La data precisa non la decidete voi, ma la decido io tenendo conto di tutto, anche delle ulteriori visite mediche di controllo, ma si “incastrerà” tutto quanto.

4)INDICARE IL NUMERO DI MATRICOLA. QUESTO E’ FONDAMENTALE PER L’IDENTIFICAZIONE.

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Vista la situazione di come si è evoluta la didattica a partire dall'inizio della pandemia, il mio esame è solo orale con esercizi da svolgere seduta stante e domande teoriche. Il programma va fatto TUTTO in profondità, e vengono chiesti TUTTI i punti fatti nel programma e in particolare le applicazioni e i collegamenti profondi vari.

Sono ammessi solamente: PENNA (ed eventualmente un righello per disegnare in ordine); CALCOLATRICE; NUMERO DI TESSERINO; DOCUMENTO. Inoltre, una bottiglina d'acqua non si nega a nessuno...

NON SI POSSONO CONSULTARE NE' LIBRI NE' APPUNTI NE’ CELLULARI NE’ COMPUTERS NE’ ALCUN DISPOSITIVO, E VERRANNO FATTI TUTTI I CONTROLLI NECESSARI PRIMA DI INIZIARE L'ESAME.

ATTENZIONE: LE DATE UFFICIALI CHE COMPAIONO SUL CALENDARIO ACCADEMICO E SUI VARI SOL SI RIFERISCONO SOLAMENTE ALLA FISICA (o Statistica).

La Matematica ha date "flessibili" (purché ALL'INTERNO DELLE FINESTRE) e si avvale dello strumento della prenotazione PER EMAIL unicamente per non generare una grande confusione, per non "aumentare l'entropia" e per gestire nel migliore dei modi le cose.

Nel mio corso gli esami non vengono fatti sempre precisamente nelle date ufficiali, anche perché ci potrebbero essere sovrapposizioni con Fisica o Statistica, e quindi le date ufficiali si riferiscono ESCLUSIVAMENTE A FISICA (o STATISTICA). Inoltre la Matematica NON è propedeutica per la Fisica (o Statistica), come la Fisica (o la Statistica) NON è propedeutica per la Matematica.

Allora, siccome dovete venire PREPARATISSIMI e non per "tentare l'esame", vi dovete prenotare una settimana/10 giorni prima, ESCLUSIVAMENTE PER EMAIL (antonio.boccuto@unipg.it) E NON CON IL SOL, PERCHE’ IL SOL NON SI RIFERISCE ALLA MATEMATICA anche per evitare lo svolgimento degli esami di tanti studenti lo stesso giorno. Questo intervallo da 10 a 7 giorni costituisce una regola molto precisa, che è indispensabile per garantire il regolare svolgimento dei colloqui/esami di Matematica.

Il docente, A. Boccuto

PROGRAMMA DI ELEMENTI DI MATEMATICA PER FARMACIA,PER TUTTI GLI STUDENTI DI TUTTI GLI ANNI ACCADEMICI

ANNO ACCADEMICO 2025-2026

Lezione del 16 settembre 2025

Argomenti della lezione. Da "Parte 1, Testo adottato": da pag. 1 a pag. 25 comprese.

Definizione e significato geometrico delle funzioni trigonometriche elementari seno, coseno, tangente e cotangente, con dimostrazione grafica con i triangoli simili. Identità fondamentale della trigonometria con dimostrazione e dimostrazione dell'equazione della circonferenza goniometrica o trigonometrica usando il teorema di Pitagora.

Distanza fra due punti (con dimostrazione grafica) e formula di sottrazione del coseno con dimostrazione grafica sul I Quadrante DA SAPERE MOLTO BENE. Enunciato delle formule di addizione del coseno, di addizione del seno e di sottrazione del seno (le dimostrazioni sono lasciate per esercizio: da ora in poi, quando dico che una cosa è "lasciata per esercizio", intendo che quella cosa va fatta COME SE FOSSE SCRITTA SULL' "ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE" E NON SUL "TESTO ADOTTATO").

Seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo opposto (- alpha): il coseno è una funzione pari, seno, tangente e cotangente sono funzioni dispari, con dimostrazione grafica.

Valori fondamentali del seno, coseno, tangente e cotangente di 360°, 0°, 90°, 180°, 270°, 45°, 30° con dimostrazione grafica; di 60° (la dimostrazione è lasciata per esercizio).

Le funzioni seno e coseno assumono valori compresi tra -1 ed 1 (si vede graficamente ad occhio con la circonferenza goniometrica).

Quello che c'è da pag. 1 a pag. 25 di "Parte 1, Testo adottato" e che non è qui espressamente nominato VIENE LASCIATO PER CASA COME ESERCIZIO, COME SE FOSSE SCRITTO SULL'ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE.

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Lezione del 19 settembre 2025

Argomenti della lezione. Da "Parte 1, Testo adottato": da pag. 25 a pag. 46. Pag. 25: riepilogo di alcuni valori fondamentali del seno, coseno, tangente e cotangente. Pag. 26: Calcolo di cos 15°, sin 15°, cos 75° e sin 75° rispettivamente con le formule di sottrazione del coseno, sottrazione del seno, addizione del coseno e addizione del seno. Pag. 26: Formule di duplicazione del seno e del coseno. Pag. 29: enunciato del testo di un esercizio che riguarda i legami tra la lunghezza di un cateto, il coseno dell'angolo adiacente e il seno dell'angolo opposto. Pag. 32 e 33: esercizio nei dettagli: CALCOLARE LA DISTANZA TRA DUE PUNTI INACCESSIBILI (è una applicazione su a che cosa serve la trigonometria!). Pag. 34 e 35: Equazione della retta con dimostrazione e collegamento profondo con la trigonometria nel caso della retta obliqua. Pag. 36: esercizio: scrivere l'equazione della retta passante per due punti dati. Pag. 37, 38 e 39: rette parallele e perpendicolari con dimostrazione. Da pag. 43 a pag. 46: Esercizi su disequazioni goniometriche.

Quello che c'è da pag. 25 a pag. 46 di "Parte 1, Testo adottato" e che non è qui espressamente nominato VIENE LASCIATO PER CASA COME ESERCIZIO, COME SE FOSSE SCRITTO SULL'ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE. PER CASA: ALLENARSI A FARE QUALCHE ESERCIZIO, TRATTO ANCHE DALLE PAGINE NON ESPRESSAMENTE NOMINATE DEL "TESTO ADOTTATO" DELLA PARTE 1 E/O DALL' "ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE" DELLA PARTE 1.

N.B.: PARTE 1=PARTE OFA, CHE COMUNQUE, IN SEDE DI ESAME, E' O B B L I G A T O R I A SIA PER CHI PASSA LA PARTE DI MATEMATICA DEL TEST DEL TOLC-F CON UNA VOTAZIONE ALMENO SUFFICIENTE SIA PER CHI NON LO PASSA.

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Lezione del 23 settembre 2025

Argomenti della lezione. Da "Parte 1, Testo adottato": Disequazioni trigonometriche a pag. 47, 48 e 49. Da pag. 52 a pag. 55: Equazione della circonferenza COME LUOGO GEOMETRICO ED EQUIVALENZA CON QUELLA CLASSICA (con dimostrazione). Da pag. 56 a pag. 60: Equazione della parabola COME LUOGO GEOMETRICO ED EQUIVALENZA CON QUELLA CLASSICA (con dimostrazione). Da pag. 61 a pag. 67: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO (con dimostrazione). Pag. 70 e 71: Esercizio su una disequazione fratta. Da pag. 74 a pag. 77: Valore assoluto: definizione e principali proprietà. Da "Parte 1, eserciziario di ispirazione": Esercizio a pag. 69 su una disequazione con il valore assoluto.

Quello che c'è da pag. 47 a pag. 77 di "Parte 1, Testo adottato" e che non è qui espressamente nominato VIENE LASCIATO PER CASA COME ESERCIZIO, COME SE FOSSE SCRITTO SULL'ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE. PER CASA: ALLENARSI A FARE QUALCHE ESERCIZIO, TRATTO ANCHE DALLE PAGINE NON ESPRESSAMENTE NOMINATE DEL "TESTO ADOTTATO" DELLA PARTE 1 E/O DALL' "ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE" DELLA PARTE 1.

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Lezione del 26 settembre 2025

Da "Parte 1, Eserciziario di ispirazione": pag. 70: esercizio su una disequazione con due valori assoluti.

Da "Parte 1, Testo adottato. Da pag. 81 a pag. 100: Potenze e principali proprietà. Logaritmi e principali proprietà; formula del cambio di base. Esercizi su potenze (dis)equazioni esponenziali e logaritmiche (proprietà fondamentali delle potenze pag. 84 - disuguaglianze a base fissa ed esponente variabile e disuguaglianze a base variabile es esponente fisso pag. 85 - esempi/esercizi n. 6, 7, 1, 2 pag. 90 - definizione di logaritmo ed esempio del pH p. 91 - proprietà fondamentali del logaritmo e formula del cambio di base p. 92).

Da "Parte 1, Eserciziario di ispirazione": pag. 71: esercizi sulla formula del cambio di base nei logaritmi.

Da "Parte 1, Testo adottato": Richiamo alle due proprietà fondamentali alla terza e quarta riga di pag. 95 (N. B.: queste due proprietà vogliono dire che "LE FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMO SONO UNA LA FUNZIONE INVERSA DELL'ALTRA"), esercizio su equazioni e disequazioni esponenziali a pag. 98 e 99, grafici delle funzioni esponenziale e logaritmo a pag. 99, esercizio su una equazione e una disequazione logaritmica a pag. 100.

Quello che c'è da pag. 81 a pag. 100 di "Parte 1, Testo adottato" e che non è qui espressamente nominato VIENE LASCIATO PER CASA COME ESERCIZIO, COME SE FOSSE SCRITTO SULL'ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE. PER CASA: ALLENARSI A FARE QUALCHE ESERCIZIO, TRATTO ANCHE DALLE PAGINE NON ESPRESSAMENTE NOMINATE DEL "TESTO ADOTTATO" DELLA PARTE 1 E/O DALL' "ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE" DELLA PARTE 1.

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LEZIONE DEL 30 SETTEMBRE 2025

Da "Parte 2, testo adottato": da pag. 1 a pag. 32: Presentazione dei concetti di funzione e di successione ed esempi. Richiamo al diagramma a frecce per vedere la differenza tra funzioni e corrispondenze o relazioni (vedi anche "Parte 2, complementi sulle funzioni iniettive e suriettive", da pag. 566 all'inizio di pag. 567). Introduzione alla definizione di limite ed esempi. Esercizi sui limiti l1 ed l2 a pag. 20 di tipo "sostituzione della x", esercizi l5 e l6 a pag. 21. esercizio l7 a pag. 22, esercizi l8 e l9 a pag. 23, esercizi l12, l13 ed l14 a pag. 24, esercizi L1 a pag. 25 con l'equazione di secondo grado, L2 a pag. 26, L3 a pag. 27, L4 a pag. 28. Continuità (vedi pag. 30, 31 e 32).

CIO' CHE NON VIENE FATTO ESPLICITAMENTE A LEZIONE VIENE LASCIATO A CASA COME ESERCIZIO, tranne le (eventuali) parti facoltative.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

PER CASA: ALLENARSI A FARE QUALCHE ESERCIZIO, TRATTO ANCHE DALLE PAGINE NON ESPRESSAMENTE NOMINATE DEL "TESTO ADOTTATO" DELLE PARTI 1 E 2 E/O DALL' "ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE" E/O DAI "COMPLEMENTI" DELLE PARTI 1 E 2.

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LEZIONE DEL 3 OTTOBRE 2025

Da "Parte 2, testo adottato": da pag. 33 a pag. 66. Concetto di derivabilità e SIGNIFICATO GEOMETRICO (IMPORTANTISSIMO). EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE (che si ottiene attraverso l'equazione del fascio di rette). Derivabilità implica continuità (senza dimostrazione), ma non è vero il viceversa, con esempio grafico. Derivazione di una funzione costante (dimostrazione lasciata come esercizio), della funzione identità (con dimostrazione) e della funzione elevamento al quadrato (con dimostrazione). Regole di derivazione (le dimostrazioni sono lasciate come esercizio). Esercizi sulle derivate a pag. 46 n. 1 e 2. Teorema de l'Hopital. Esercizio L1 a pag. 48 sul teorema de l'Hopital. Studio di funzione in generale: massimi e minimi assoluti e relativi, test di monotonia, concavità, convessità e flessi, asintoti orizzontali, verticali e obliqui, usati per presentare l'esercizio consistente nello studio completo della funzione f(x)=x^2/(x+2).

CIO' CHE NON VIENE FATTO ESPLICITAMENTE A LEZIONE VIENE LASCIATO A CASA COME ESERCIZIO, tranne le (eventuali) parti facoltative.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

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LEZIONE DEL 7 OTTOBRE 2025

Da "Parte 2, testo adottato": da pag. 67 a pag. 101. Funzioni suriettive e non suriettive, codominio, funzioni iniettive e non iniettive (con richiamo a "Parte 2, complementi sulle funzioni iniettive e suriettive", pag. 567, 568, 569), funzioni biiettive e funzione inversa. Funzioni crescenti, non decrescenti, decrescenti, non crescenti, costanti a pag. 72 (in realtà questi concetti erano stati dati nella lezione del 3 ottobre 2025). Fine pag. 72 e prima metà di pag. 73: una funzione strettamente crescente (o strettamente decrescente) è iniettiva (la dimostrazione è lasciata per esercizio. Esercizio lasciato per casa: esistono funzioni biiettive che non sono né strettamente crescenti né strettamente decrescenti). Pag. 74: teorema dei valori intermedi per funzioni CONTINUE definite in un intervallo o semiretta o tutta la retta reale (IMPORTANTISSIMO!). Da pag. 75 a pag. 81: Costruzione delle funzioni radice quadrata, radice cubica, radice di ordine pari, radice di ordine dispari e del grafico della funzione inversa (IMPORTANTE). Funzioni potenza ed esponenziale e logaritmo come studio di funzione (confronta anche Parte 1). (N. B.: Le DIMOSTRAZIONI a pagina 85, 86, 87, 88 sulla positività e crescenza (o decrescenza) della funzione esponenziale (a seconda della base) e dei suoi limiti al tendere di x a + infinito ed a - infinito sono FACOLTATIVE. OVVIAMENTE I RISPETTIVI ENUNCIATI NON SONO FACOLTATIVI, E SI DEVONO SAPERE MOLTO BENE!! Confronta anche i disegni a pag. 97 e 98 di "Parte 2, testo adottato" e a pag. 99 di "Parte 1, testo adottato"). Numero di Nepero e relativi limiti notevoli a pag. 91: IMPORTANTI. PROPRIETA' FONDAMENTALE CHE L'ESPONENZIALE E IL LOGARITMO SONO L'UNA LA FUNZIONE INVERSA DELL'ALTRA a pag. 91: MOLTO IMPORTANTE. Limiti notevoli sull'esponenziale e sul logaritmo a pag. 93 (solo enunciato, per ora): IMPORTANTI. Derivata della funzione esponenziale a pag. 94: IMPORTANTE. GRAFICI DELLE FUNZIONI ESPONENZIALE E LOGARITMO A PAG. 97 E 98 CON RELATIVE SPIEGAZIONI: IMPORTANTISSIMO. DERIVATA DEL LOGARITMO A PAG. 99: IMPORTANTE.

CIO' CHE NON VIENE FATTO ESPLICITAMENTE A LEZIONE VIENE LASCIATO A CASA COME ESERCIZIO, tranne le parti facoltative.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

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LEZIONE DEL 10 OTTOBRE 2025

Da "Parte 2, testo adottato": da pag. 104 a pag. 112: studio completo della funzione f(x)= x ln(x) con particolare riferimento ANCHE all'iniettività, suriettività, codominio, funzioni inverse; Funzioni composte ed esempi (e non commutatività); teorema di derivazione delle funzioni composte (solo enunciato); esempi ed esercizi. Pag. 113 e 114: derivata della funzione x^b, con b fissato numero reale qualsiasi (ed x > 0 variabile) e, come caso particolare, derivate delle funzioni radice quadrata e radice cubica (la dimostrazione è lasciata per casa come esercizio). Esercizi (nei dettagli) LN1) ed LN3) a pag. 115, LQN (limite quasi notevole, che viene 1) a pag. 116, L5) a pag. 117, L7) ed L8) a pag. 118, L9) a pag. 119.

CIO' CHE NON VIENE FATTO ESPLICITAMENTE A LEZIONE VIENE LASCIATO A CASA COME ESERCIZIO, tranne le parti facoltative.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

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LEZIONE DEL 14 OTTOBRE 2025

Da "Parte 2, testo adottato": da pag. 123 a pag. 129: studio completo di due funzioni. Da "Parte 2, eserciziario di ispirazione", pag. 21, 22, 23 e 24: esercizi sulla derivazione delle funzioni composte (derivata del logaritmo di funzione, derivata della potenza di funzione, derivata della potenza del logaritmo). Da "Parte 2, testo adottato": da pag. 146 a pag. 156: le inverse delle funzioni trigonometriche, cioè la definizione e le costruzione delle funzioni arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente.

CIO' CHE NON VIENE FATTO ESPLICITAMENTE A LEZIONE VIENE LASCIATO A CASA COME ESERCIZIO, tranne le (eventuali) parti facoltative.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

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LEZIONE DEL 17 OTTOBRE 2025

Da "Parte 2, testo adottato": da pag. 157 a pag. 160: Limiti notevoli con il seno, il coseno e la tangente, con dimostrazioni. Da "Parte 2, testo adottato": da pag. 161 a pag. 164: Derivate del seno, del coseno, della tangente e della cotangente (con dimostrazioni, molto importanti). Pag. 165: esercizio sui limiti con de l'Hopital e con le funzioni trigonometriche. Da pag. 166 a pag. 178: seno, coseno, tangente e cotangente come studi di funzioni (lasciato per casa come esercizio). Derivazione delle funzioni inverse (BENE a pag. 179 e cenno a pag. 180). Pag. 181, 182 e 183: derivata dell'arcotangente, BENE (le derivate dell'arcoseno, arcocoseno ed arcocotangente sono facoltative). Da pag. 195 a pag. 199: Esempio/esercizio della parabola come studio completo di funzione (MOLTO BENE), CON PARTICOLARE ATTENZIONE AL CALCOLO DEL CODOMINIO (SIA A MANO SIA CON IL TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI) E AL CALCOLO DELLE FUNZIONI INVERSE DEI RISPETTIVI "RAMI".

CIO' CHE NON VIENE FATTO ESPLICITAMENTE A LEZIONE VIENE LASCIATO A CASA COME ESERCIZIO, tranne le parti facoltative.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

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LEZIONE DEL 21 OTTOBRE 2025

Da "Parte 3, Testo adottato": Introduzione agli integrali (pag. 2), integrale alla Riemann, significato geometrico e classi di funzioni integrabili (da pag. 3 a pag. 5), teorema di Torricelli-Barrow e formula fondamentale del Calcolo Integrale (pag. 6), integrale indefinito e integrali immediati (da pag. 7 a pag. 10), integrali quasi immediati "logaritmici" (pag. 10; la prova a pag. 11 è lasciata come esercizio), integrali quasi immediati generali (pag. 12, 13 e 14: è lasciato come esercizio.

Da "Parte 3, eserciziario di ispirazione": integrali quasi immediati generali: da pag. 3 a pag. 5: regola generale ed esercizi I8 e I10.

Da "Parte 3, testo adottato": integrazione per parti: regola generale ed esempi/esercizi nei dettagli (pag. 15, 16 e 17).

Da "Parte 3, eserciziario di ispirazione": esercizio in.p.1 a pag. 12 sull'integrazione per parti nei dettagli.

Da "Parte 3, testo adottato": integrazione per sostituzione (da pag. 18 a pag. 21): tecnica usata ed esercizi I5 e I6 a pag. 21.

CIO' CHE NON VIENE FATTO ESPLICITAMENTE A LEZIONE VIENE LASCIATO A CASA COME ESERCIZIO, tranne le eventuali parti facoltative.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

PER CASA: ALLENARSI A FARE QUALCHE ESERCIZIO, TRATTO ANCHE DALLE PAGINE NON ESPRESSAMENTE NOMINATE DEL "TESTO ADOTTATO" DELLE PARTI 1, 2 E 3 E/O DALL' "ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE" E/O DAI "COMPLEMENTI" DELLE PARTI 1, 2 E 3.

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LEZIONE DEL 28 OTTOBRE 2025

Da "Parte 3, testo adottato", pag. 22: Integrale indefinito di e^{-x}dx (viene -e^{-x}+c, IMPORTANTISSIMO), svolto SIA COME INTEGRALE QUASI IMMEDIATO SIA PER SOSTITUZIONE.

Da "Parte 3, eserciziario di ispirazione": esercizio I_{in,S,5} a pag. 25 e 26, svolto SIA COME INTEGRALE QUASI IMMEDIATO SIA PER SOSTITUZIONE, CON RELATIVO COLLEGAMENTO MOLTO PROFONDO.

Da "Parte 3, testo adottato", pag. 26: The probability integral e significato geometrico, con spiegazione di quello che si intende per integrale generalizzato o improprio. Pag. 27, fattoriali: ripassare a casa. Da pag. 28 a pag. 32: della funzione Gamma, bisogna sapere (almeno) che è una generalizzazione del fattoriale e che è una significativa applicazione dell' integrale alla Probabilità e Statistica. IL RESTO SULLA FUNZIONE GAMMA E' FACOLTATIVO. Da pag. 33 a pag. 37: Esempio del tiro al bersaglio (CERTAMENTE SI') con i concetti di FREQUENZA ASSOLUTA E RELATIVA. Da pag. 40 a pag. 47: La distribuzione Gaussiana o normale (SI', A GRANDI LINEE).

Concetti di media, mediana, moda e frequenza assoluta e relativa introdotti attraverso i seguenti esempi (con riferimento a "Parte 4, testo adottato", da pag. 1 a pag. 13) :

1, 1, 3 , 4 ,6

la frequenza assoluta di 1 è 2

la frequenza assoluta di 3 è 1

la frequenza relativa di 3 è 1/5

la frequenza relativa di 1 è 2/5 = freq assoluta di 1/ numero totale dei dati= 2/5

la freq rel di 6= 1/5

la moda : è il dato che si ripete più spesso, cioè il dato che ha frequenza maggiore:

1 1 3 4 6 la moda è 1

1 1 3 3 6 Moda: ci sono due mode. I dati che hanno maggiore frequenza sono 1 e 3 : quindi le 2 mode sono 1 e 3

1 2 3 4 5 nessuna moda (perché non c'è nessun dato che ha maggiore frequenza degli altri)

1 1 3 4 6 : la media è il rapporto tra la somma dei numeri e il numero totale dei dati (media aritmetica):viene 3, cioè 15/5 15 è la somma dei numeri, mentre 5 è il numero totale dei dati

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4, 4, 5, 1, 2, 3 : parliamo ora di MEDIANA

In questo caso, bisogna disporre i dati in ordine crescente, OGNI VOLTA CHE SI PARLA DI MEDIANA

Quindi scriveremo 1,2,3,4,4,5

La MEDIANA sarà la media aritmetica dei dati centrali, se il numero dei dati è pari; sarà il dato centrale, se il numero dei dati è dispari: nel nostro caso, i dati centrali sono 3 e 4, e la mediana è (3+4)/2=7/2=3,5. QUINDI, N O N LA MEDIA ARITMETICA DI TUTTI I DATI!

E la mediana tra 4,4,1,2,3? NON E' 1! Dobbiamo mettere i dati in ordine crescente: 1,2,3,4,4: chi è allora la vera mediana? E' il valore di mezzo, che è 3. E la moda? 4, perché si ripete più spesso. E la frequenza assoluta del 4? viene 2. E quella relativa? 2/5

Media: si prendono tutti gli elementi, si fa la somma e si divide per il numero totale degli elementi

media (4+4+1+2+3)/5=14/5

N.B.: Sono facoltativi la frequenza percentuale, lo scarto quadratico medio o deviazione standard, la varianza, la devianza, la covarianza, la codevianza, il coefficiente di correlazione e la retta di regressione.

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Da "Parte 4, testo adottato", pag. 15, 16 e 17: INTRODUZIONE AL CONCETTO DI PROBABILITA' CON L'ESEMPIO DEL LANCIO DI DUE DADI DISTINTI, CON COLLEGAMENTO MOLTO PROFONDO FRA PROBABILITA' E FREQUENZA RELATIVA (MOLTO BENE); pag. 21 e 22: definizioni di PROBABILITA' CONDIZIONATA e di INDIPENDENZA TRA DUE EVENTI (N.B.: un evento è identificato con un insieme).

CIO' CHE NON VIENE FATTO ESPLICITAMENTE A LEZIONE VIENE LASCIATO A CASA COME ESERCIZIO, tranne le parti facoltative.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

PER CASA: ALLENARSI A FARE QUALCHE ESERCIZIO, TRATTO ANCHE DALLE PAGINE NON ESPRESSAMENTE NOMINATE DEL "TESTO ADOTTATO" DELLE PARTI 1, 2, 3 e 4 E/O DALL' "ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE" E/O DAI "COMPLEMENTI" DELLE PARTI 1, 2, 3 E 4.

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LEZIONE DEL 31 OTTOBRE 2025

Da "Parte 4, testo adottato": esercizi sulla probabilità condizionata e sulle estrazioni con e senza reimbussolamento da pag. 27 a pag. 30; introduzione al Calcolo Combinatorio, problema dei ragazzi e delle sedie e disposizioni semplici da pag. 35 a pag. 38; disposizioni con ripetizioni ed esempio da pag. 40 a pag. 42; permutazioni con e senza ripetizioni da pag. 42 a pag. 45. Parte 4: dispense a parte sugli anagrammi della parola "ROMA" e sugli esempi/esercizi sugli anagrammi.

Da "Parte 4, testo adottato": combinazioni semplici e con ripetizioni con esempio (pag. 51, 52 e 53 senza dimostrazioni). Esempio seguente:

Combinazioni semplici di 4 oggetti (1,2,3,4) in 2 posti. L’ordine NON conta, e non ci sono ripetizioni.

11 no!

21 no, perché c’è 12 e l’ordine NON conta

22 no

31 no 32 no 33 no

Totale: 12, 13, 14, 23, 24, 34 sono 6.FORMULA: n!/(k! (n-k)!)

Infatti: n=4, k=2

4!/(2! 2!)= 24/(2 x 2)= 24/4=6

Combinazioni con ripetizioni di 4 oggetti (1,2,3,4) in 2 posti. L’ordine NON conta, e ci sono ripetizioni. Dunque, ai 6 elementi trovati nel caso precedente (12, 13, 14, 23, 24, 34) dobbiamo aggiungere i casi dove compaiono (almeno) 2 cifre uguali, quindi anche 11, 22, 33, 44, e quindi questa volta i casi totali sono 10. Ma DA DOVE SBUCA QUESTO 10?

FORMULA: (n+k-1)!/(k! (n-1)!)

Infatti: n=4, k=2

5!/(2! 3!)= 120/(2 x 6)= 120/12=10

Da "Parte 4, testo adottato", pag. 59: SCHEMA DI RICAPITOLAZIONE DEL CALCOLO COMBINATORIO (IMPORTANTISSIMO)

CIO' CHE NON VIENE FATTO ESPLICITAMENTE A LEZIONE VIENE LASCIATO A CASA COME ESERCIZIO, tranne le eventuali parti facoltative. CIO' CHE NON E' ESPLICITAMENTE NOMINATO SUL CALCOLO COMBINATORIO: LEGGERE.

Da "Parte 4, eserciziario di ispirazione": ESERCIZI TEST SUL CALCOLO COMBINATORIO a pag. 32, 33, 36 e 37.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

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LEZIONE DEL 14 NOVEMBRE 2025

Da "Parte 2, Eserciziario di ispirazione": Esercizio a pag. 18, 19 e 20 sullo studio della funzione f(x)=x^2/(1-x).

Da "Riepilogo generale aggiornato": è stato discusso il riepilogo generale delle parti 1 e 2.

Da "Parte 1, Eserciziario di ispirazione": Esercizio sulla parabola a pag. 52 n. 4.7 (con l'espressione "elegante" dell'equazione della parabola con il nostro metodo, dove la parabola viene considerata direttamente come luogo geometrico dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice).

Da "Parte 2, Eserciziario di ispirazione": Esercizio da pag. 71 a pag. 74 sullo studio della funzione h(x)=x^3 + 27 , COMPRESI ANCHE: iniettività e suriettività, codominio e funzione inversa calcolati "a mano", codominio calcolato con il teorema dei valori intermedi.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

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LEZIONE DEL 18 NOVEMBRE 2025

Lettura del "RIEPILOGO GENERALE AGGIORNATO" relativamente alle parti 3 e 4.

Da "Parte 3, Eserciziario di ispirazione": Esercizio in,D,7 a pag. 19 sugli integrali definiti (e indefiniti) e sull'integrazione per parti.

Da "Parte 4, Eserciziario di ispirazione": Esercizio di Statistica descrittiva a pag. 1,2,3 e 4; esercizi sul Calcolo Combinatorio a pag. 38 (sui terni al lotto e sulla schedina del Totocalcio).

Da "Parte 1, Eserciziario di ispirazione": Esercizi sulla parabola a pag. 53 e 54.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

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LEZIONE DEL 25 NOVEMBRE 2025

Da "Parte 2, Testo adottato": Pag 120, 121 e 122: Studio della funzione f(x)=ln(x^2+1).

LETTURA DELLE REGOLE SUGLI ESAMI.

Da "Parte 1, Eserciziario di ispirazione": Esercizio sulla circonferenza 4.1) a pag. 45.

PER CASA: Esercitarsi su questi argomenti con esercizi, sia dal "Testo adottato" sia dall' "Eserciziario di ispirazione".

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MATERIALE DIDATTICO RELATIVO AL CORSO DI ELEMENTI DI MATEMATICA PER IL CORSO DI LAUREA IN FARMACIA (DA "SCARICARE"!!)

PARTE 1: RICHIAMI DI MATEMATICA ELEMENTARE

Parte 1: Testo adottato

Parte 1: Eserciziario di ispirazione

Parte 1: COMPLEMENTI: IMPORTANTISSIMO IN TRIGONOMETRIA!

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ATTENZIONE!!!!

PARTE 2: LIMITI, DERIVATE E STUDI DI FUNZIONI: ORDINE LOGICO E STRATEGIA, E COME COLLEGARLA CON LA PARTE 1 (vedi anche sotto)

[0)Innanzi tutto, è caldamente consigliato STAMPARE tutto il materiale didattico da internet, più precisamente dalla mia pagina web

https://boccuto.sites.dmi.unipg.it/corso-farmacia.htm

per avere la versione cartacea]

1)Presentazione del concetto di limite in modo pressoché prettamente intuitivo con l’aiuto della funzione 1/x: da ciò deriva la cosiddetta algebra dei limiti, con il calcolo dei limiti e le relative regole, che vengono richiamate di volta in volta negli esercizi.

2)Calcolo di limiti in casi molto elementari (ad esempio, (rapporti di) polinomi).

3)Presentazione dei concetti di continuità e di derivabilità, dei loro legami, e del loro significato geometrico.

4)Regole di derivazione e calcolo di derivate in casi molto elementari.

5)Studi di funzioni in casi molto elementari.

6)Presentazione delle funzioni tipo potenza, radice, esponenziale e logaritmo con l’aiuto dei concetti della funzione inversa (quindi anche iniettività, suriettività, SIA CON LE RETTE SIA CON LE FRECCE…) e della trigonometria, e qui entra in gioco la parte 1. GRAFICI E DISEGNI.

7)Funzioni trigonometriche e loro inverse, e qui entra in gioco ancora una volta la parte 1. RICHIAMO ALLE DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE.

8)Vedere queste funzioni e la parabola come studio di funzione, facendo un collegamento profondo con la parabola e con la geometria analitica, e qui entra in gioco ancora una volta la parte 1, richiamando anche la retta (con i COLLEGAMENTI PROFONDI CON LA TRIGONOMETRIA) e la circonferenza.

8)Esercizi relativi, anche per esempio inglobando lo studio dell’iniettività, suriettività, funzione inversa,…, nello studio della funzione!!! (si veda, come “trucco”, il teorema dei valori intermedi per funzioni continue, solo l’enunciato senza dimostrazione, ma da sapere BENISSIMO!) USARE MOLTO BENE ANCHE L’ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE!!!

Il docente, A. Boccuto

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PARTE 2

Parte 2: COMPLEMENTI SULLE FUNZIONI INIETTIVE E SURIETTIVE

Parte 2: Testo adottato pp. 0-180 (N. B.: Le DIMOSTRAZIONI a pagina 85, 86,87,88 sulla positività e crescenza (o decrescenza) della funzione esponenziale (a seconda della base) e dei suoi limiti al tendere di x a + infinito ed a - infinito sono FACOLTATIVE. OVVIAMENTE I RISPETTIVI ENUNCIATI NON SONO FACOLTATIVI, E SI DEVONO SAPERE MOLTO BENE!! Confronta anche i disegni a pag. 97 e 98 di "Parte 2, testo adottato" e a pag. 99 di "Parte 1, testo adottato")

Parte 2: Testo adottato pp. 181-199

Derivazione delle funzioni trigonometriche inverse: DERIVATA DELLA TANGENTE, MOLTO BENE, CON DIMOSTRAZIONE. Invece le derivate del seno, del coseno e della cotangente sono FACOLTATIVE.

Parte 2: Eserciziario di ispirazione

PARTE 3

N.B.: Le pagine 23, 24 e 25 di "Parte 3, Testo adottato" sono FACOLTATIVE. Della funzione Gamma, occorre sapere soltanto che Gamma di n = (n-1)!, che è una generalizzazione del fattoriale, e che la funzione Gamma permette di calcolare il fattoriale di un qualsiasi numero strettamente positivo, anche non intero, per esempio (1/2)! Il resto sulla funzione Gamma è FACOLTATIVO.

Parte 3: Testo adottato

Parte 3: Eserciziario di ispirazione

SCHEMA DEL CALCOLO DEGLI INTEGRALI INDEFINITI O ALLA NEWTON

Prima di tutto, si vede se è un integrale immediato (se rientra nella tabellina apposita).

Se il numeratore è la derivata del denominatore, allora l'integrale indefinito è il logaritmo del valore assoluto del denominatore +c .

Se il numeratore è la derivata del denominatore a meno di una costante moltiplicativa, allora si può “aggiustare” la costante in modo tale da ricondursi al caso precedente.

Se compare una funzione w(x) "dentro" un'altra funzione (diciamo psi(w) o equivalentemente phi’(w), ove phi’ è la derivata di una certa funzione phi) e il tutto viene MOLTIPLICATO per la derivata di w(x), allora si applica la formula degli integrali QUASI IMMEDIATI, che deriva dalla formula di derivazione delle funzioni COMPOSTE.

Se è l'integrale del prodotto di due funzioni, oppure se è l'integrale di una funzione DA SOLA che NON compare nella tabellina degli integrali immediati (per esempio il logaritmo o l’arcotangente), allora molto spesso conviene usare la formula di integrazione PER PARTI. (n.b.: L’INTEGRALE DEL PRODOTTO NON E’ IL PRODOTTO DEGLI INTEGRALI)

Se con tutti i metodi or ora illustrati il calcolo dell'integrale è ancora molto difficile, o "non si vede una strada percorribile", allora si può procedere PER SOSTITUZIONE. Alcune sostituzioni che ricorrono frequentemente sono: radice quadrata di x=w, oppure e^x=w.

GLI INTEGRALI QUASI IMMEDIATI SI POSSONO CALCOLARE ANCHE PER SOSTITUZIONE (COLLEGAMENTO PROFONDO).

SCHEMA DEL CALCOLO DEGLI INTEGRALI DEFINITI O ALLA RIEMANN, E DI QUELLI GENERALIZZATI O IMPROPRI

Si applica lo SCHEMA DEL CALCOLO DEGLI INTEGRALI INDEFINITI O ALLA NEWTON di cui al passo precedente + la FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE.

PARTE 4

Le parti dalla varianza alla retta di regressione comprese (cioè: “Parte 4, Testo adottato”, dalla metà di pag. 5 fino alla 9-ultima riga di pag. 12 e “Parte 4, eserciziario di ispirazione”, pag. 5, 6, 7, 10, 11 e 12) SONO FACOLTATIVE. SONO INVECE IMPORTANTISSIME: Media, moda, mediana, frequenza assoluta, relativa e percentuale.

Parte 4: Testo adottato

Parte 4: Eserciziario di ispirazione

Parte 4: Anagrammi della parola ROMA

Parte 4: Anagrammi vari: esercizi

RIEPILOGO GENERALE AGGIORNATO E PARTI FACOLTATIVE (che è un punto di riferimento MOLTO IMPORTANTE per capire lo spirito con il quale va studiato il programma di TUTTE le Parti 1, 2, 3, 4)

RIEPILOGO GENERALE della PARTE 2

PER TUTTI GLI STUDENTI DI QUALSIASI ANNO VALE IL PROGRAMMA E IL MATERIALE DIDATTICO DELL' ANNO ACCADEMICO IN CORSO.

Altro materiale (che NON fa parte del programma, ma che viene presentato qui come database di alcuni tests di Matematica a cura del Dipartimento di Scienze Farmaceutiche, per destare la vostra curiosità, e che può essere utile per la preparazione ai test del tipo TOLC):

Database test matematica per Farmacia (solo testi senza soluzioni)

Database test matematica per Farmacia con soluzioni

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ATTENZIONE, ATTENZIONE!!!!!!!!

Perugia, 8 Luglio 2025

Per quanto riguarda gli studenti del Corso di Laurea in Farmacia, da ora NON è più possibile prenotare i colloqui/esami di Matematica, perché la finestra è chiusa. Sarà possibile prenotare di nuovo i colloqui e gli esami di Matematica a partire dal 16 agosto 2025, e quindi gli esami/colloqui potranno essere sostenuti dal 26 agosto 2025 in poi (e poi ci sarà la pausa natalizia).

Le prenotazioni verranno fatte SENZA INDICARE NE’ DATE NE’ ORARI, MA INDICANDO IL NUMERO DI MATRICOLA e scrivendo all’indirizzo Email antonio.boccuto@unipg.it

“Sono lo studente X.Y. del Nsimo anno di Farmacia, NUMERO DI MATRICOLA zzzzzz. Desidero sostenere il colloquio di Matematica sulla parte .. /sulle parti …” E BASTA, SENZA INDICARE DATE, che deciderò io tenendo conto della mia agenda (tanto, lo sapete che il colloquio sarà 7/10 giorni dopo la richiesta della prenotazione).

Il docente, A. Boccuto

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Perugia, 24 giugno 2025

A causa di episodi non proprio piacevoli che si sono verificati, ricordo a tutti gli studenti che dovete “prenotare” l’esame scrivendomi una email se e solo se SIETE VERAMENTE PREPARATISSIMI, e NON per “tentare” l’esame. E ricordo anche di rispettare CON MOLTA PRECISIONE IL CALENDARIO DELLE FINESTRE. NON SI ACCETTANO MOTIVAZIONI DEL TIPO “BORSA DI STUDIO” O SIMILI, PERCHE’ CI DOVETE PENSARE PRIMA, E ANCHE PERCHE’ QUANDO CHIUDE LA FINESTRA IN CORSO, VADO VIA E SONO FUORI SEDE PER INDEROGABILI IMPEGNI SCIENTIFICI. Altrimenti si rischia di compromettere seriamente il regolare svolgimento degli esami e di tutta quanta la didattica del Corso di “Elementi di Matematica”, di penalizzare di molto gli studenti che sono veramente meritevoli e preparati, e sono costretto – mio malgrado – a prendere dei provvedimenti molto seri ed adeguati al riguardo di tutta la situazione del Corso.

Il docente, A. Boccuto

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Perugia, 21 Maggio 2025

Per quanto riguarda gli studenti del Corso di Laurea in Farmacia, da ora (e TASSATIVAMENTE fino alle 23.59 ORA ITALIANA del 7 luglio 2025) è possibile prenotare i colloqui/esami di Matematica, SENZA INDICARE NE’ DATE NE’ ORARI MA INDICANDO IL NUMERO DI MATRICOLA e scrivendo all’indirizzo Email antonio.boccuto@unipg.it

“Sono lo studente X.Y. del Nsimo anno di Farmacia, numero di matricola zzzzzz. Desidero sostenere il colloquio di Matematica sulla parte .. /sulle parti …” E BASTA, SENZA INDICARE DATE, che deciderò io tenendo conto della mia agenda (tanto, lo sapete che il colloquio sarà 7/10 giorni dopo la richiesta della prenotazione). L'ultimo giorno utile per SOSTENERE ( e NON per prenotare) l'esame è TASSATIVAMENTE il 14 luglio 2025.

La pausa estiva finirà il 25 agosto, nel senso che il 26 agosto 2025 sarà il primo giorno utile per sostenere i colloqui/esami di Matematica dopo la pausa estiva (e quindi le prenotazioni si potranno rifare a partire dal 16 agosto 2025).

Il docente, A. Boccuto

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RIPORTO QUI SOTTO LE REGOLE PER I COLLOQUI/ESAMI DI MATEMATICA

1)Le prenotazioni per i colloqui di MATEMATICA sono da fare ESCLUSIVAMENTE per Email all’indirizzo antonio.boccuto@unipg.it solo se siete PREPARATISSIMI DURANTE IL PERIODO DELLA FINESTRA (E NON AL DI FUORI DELLA FINESTRA)

2)NON INDICARE DATE, NE’ GIORNO NE’ SETTIMANA, LIMITANDOSI A DIRE SEMPLICEMENTE:

“Sono lo studente X. Y., NUMERO DI MATRICOLA zzzzzz. Desidererei sostenere il colloquio di Matematica sulla parte … /sulle parti …” e basta, senza aggiungere date, orari, eccetera...

[Tanto si sa che l’esame sarà da 7 a 10 giorni dopo la data della richiesta della prenotazione]

La data precisa non la decidete voi, ma la decido io tenendo conto dei miei impegni e visite mediche, ma tutto quanto si “incastrerà” e si sistemerà.

3)INDICARE IL NUMERO DI MATRICOLA. QUESTO E’ FONDAMENTALE PER L’IDENTIFICAZIONE.

IL MANCATO RISPETTO DELLE REGOLE RISCHIA DI COMPROMETTERE SERIAMENTE IL REGOLARE SVOLGIMENTO DEI COLLOQUI E DEGLI ESAMI.

Il docente, A. Boccuto

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AVVISO IMPORTANTISSIMO E REGOLE

Perugia, 6 dicembre 2024

Nello svolgimento dei colloqui/esami, sono previste una pausa ESTIVA ed una pausa NATALIZIA (e gli eventuali giorni in cui sono fuori sede)

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Sono ammessi solamente: PENNA (ed eventualmente un righello per disegnare in ordine); CALCOLATRICE; NUMERO DI TESSERINO; DOCUMENTO. Inoltre, una bottiglina d'acqua non si nega a nessuno...

NON SI POSSONO CONSULTARE NE' LIBRI NE' APPUNTI NE’ CELLULARI NE’ COMPUTERS NE’ ALCUN DISPOSITIVO, E VERRANNO FATTI TUTTI I CONTROLLI NECESSARI PRIMA DI INIZIARE L'ESAME.

ATTENZIONE: LE DATE UFFICIALI CHE COMPAIONO SUL CALENDARIO ACCADEMICO E SUI VARI SOL SI RIFERISCONO SOLAMENTE ALLA FISICA (o Statistica).

Nel mio corso gli esami non vengono fatti sempre precisamente nelle date ufficiali, anche perché ci potrebbero essere sovrapposizioni con Fisica o Statistica, e quindi le date ufficiali si riferiscono ESCLUSIVAMENTE A FISICA o STATISTICA. Inoltre la Matematica NON è propedeutica per la Fisica o Statistica, come la Fisica o Statistica NON è propedeutica per la Matematica.

Il docente, A. Boccuto

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ANNI PRECEDENTI: VALGONO LE STESSE REGOLE, LO STESSO PROGRAMMA E LO STESSO MATERIALE DIDATTICO DELL'ANNO ACCADEMICO IN CORSO

Il docente, A. Boccuto

Address: Department of Mathematics and Computer Sciences, Via Vanvitelli, 1 - 06123 Perugia (Italy)
fax: +39 075 5855024