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LA PRIMA FINESTRA ESTIVA 2026, cioè il PERIODO IN CUI E’ POSSIBILE SOSTENERE l’ESAME DEL II MODULO, si apre L’8 GIUGNO 2026 e SI CHIUDE TASSATIVAMENTE IL 15 LUGLIO 2026 (che è l’ultimo giorno utile PER GLI ESAMI, anche se LE PRENOTAZIONI INIZIANO IL 29 MAGGIO 2026 E SI CHIUDONO L’8 LUGLIO 2026 ALLE ORE 13.00 ORA ITALIANA) MA NON RIDUCETEVI AGLI ULTIMI GIORNI, NON E’ UNA STRATEGIA CHE RIPAGA!!!! NON E’ POSSIBILE PRENOTARE PRIMA DEL 29 MAGGIO 2026.

Le prenotazioni per l'esame del SECONDO MODULO, da fare ESCLUSIVAMENTE per Email all’indirizzo antonio.boccuto@unipg.it solo se siete PREPARATISSIMI E AVETE SOSTENUTO CON ESITO POSITIVO IL PRIMO MODULO, INIZIANO IL 29 MAGGIO 2026 E SI CONCLUDONO T A S S A T I V A M E N T E alle ore 13.00 dell’8 LUGLIO 2026, ORA ITALIANA. NON E’ POSSIBILE SOSTENERE IL SECONDO MODULO PRIMA DEL PRIMO MODULO, O CONTEMPORANEAMENTE AL PRIMO MODULO.

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LA SECONDA FINESTRA ESTIVA 2026, cioè il PERIODO IN CUI E’ POSSIBILE SOSTENERE l’ESAME DEL II MODULO, si apre il 26 AGOSTO 2026 e SI CHIUDE TASSATIVAMENTE IL 17 SETTEMBRE 2026 (che è l’ultimo giorno utile PER GLI ESAMI, anche se LE PRENOTAZIONI INIZIANO IL 16 AGOSTO 2026 E SI CHIUDONO IL 10 SETTEMBRE 2026 ALLE ORE 13.00 ORA ITALIANA) MA NON RIDUCETEVI AGLI ULTIMI GIORNI, NON E’ UNA STRATEGIA CHE RIPAGA!!!! NON E’ POSSIBILE PRENOTARE PRIMA DEL 16 AGOSTO 2026.

Le prenotazioni per l'esame del SECONDO MODULO, da fare ESCLUSIVAMENTE per Email all’indirizzo antonio.boccuto@unipg.it solo se siete PREPARATISSIMI E AVETE SOSTENUTO CON ESITO POSITIVO IL PRIMO MODULO, INIZIANO IL 16 AGOSTO 2026 E SI CONCLUDONO T A S S A T I V A M E N T E alle ore 13.00 del 10 SETTEMBRE 2026, ORA ITALIANA. NON E’ POSSIBILE SOSTENERE IL SECONDO MODULO PRIMA DEL PRIMO MODULO, O CONTEMPORANEAMENTE AL PRIMO MODULO.

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“Sono lo studente X. Y., NUMERO DI MATRICOLA zzzzzz. Desidererei sostenere l’esame di Analisi Matematica II Modulo”, e basta, senza aggiungere periodi di tempo.

La data precisa non la decidete voi, ma la decido io tenendo conto di tutto, anche delle ulteriori visite mediche di controllo, ma si “incastrerà” tutto quanto.

INDICARE IL NUMERO DI MATRICOLA. QUESTO E’ FONDAMENTALE PER L’IDENTIFICAZIONE.

NON RIDURSI AGLI ULTIMI GIORNI DELLA FINESTRA! QUESTO E' DI FONDAMENTALE IMPORTANZA, PER GESTIRE T U T T I GLI ESAMI. N. B. L'ESAME PUO' ESSERE SOSTENUTO UNA SOLA VOLTA IN UNA STESSA FINESTRA!!!

N. B.: L'ESITO POSITIVO DI TUTTO L'ESAME DEL I MODULO PRECEDE TASSATIVAMENTE IL II MODULO. QUESTE REGOLE SONO PRECISISSIME! SI PREGA DI RISPETTARLE MOLTO BENE, PER NON COMPROMETTERE LA GESTIONE DEGLI ESAMI!

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Vista la situazione di come si è evoluta la didattica a partire dall'inizio della pandemia, il mio esame è solo orale con esercizi da svolgere seduta stante e domande teoriche. Il programma va fatto TUTTO in profondità, e vengono chiesti TUTTI i punti fatti nel programma e in particolare le applicazioni e i collegamenti profondi vari.

Il secondo modulo ha date "flessibili" (purché ALL'INTERNO DELLE FINESTRE) e si avvale dello strumento della prenotazione PER EMAIL unicamente per non generare una grande confusione, per non "aumentare l'entropia" e per gestire nel migliore dei modi le cose.

Nel mio corso gli esami non vengono fatti precisamente nelle date ufficiali, anche perchè ci potrebbero essere sovrapposizioni con il I modulo, e quindi le date ufficiali si riferiscono ESCLUSIVAMENTE AL I MODULO.

Allora, siccome dovete venire PREPARATISSIMI e non per "tentare l'esame", vi dovete prenotare una settimana/10 giorni prima, ESCLUSIVAMENTE PER EMAIL (antonio.boccuto@unipg.it) E NON CON IL SOL, PERCHè IL SOL NON SI RIFERISCE AL SECONDO MODULO, anche per evitare lo svolgimento degli esami di tanti studenti lo stesso giorno e per non confondersi con il I Modulo. Questo intervallo da 10 a 7 giorni costituisce una regola molto precisa, INDISPENSABILE PER GARANTIRE IL REGOLARE SVOLGIMENTO DEGLI ESAMI.

N. B. L'ESAME PUO' ESSERE SOSTENUTO UNA SOLA VOLTA IN UNA STESSA FINESTRA!!!

NON SI ACCETTANO PRENOTAZIONI PER UNA DATA CHE STA FUORI DALLA FINESTRA

E SI PREGA DI N O N R I D U R S I A G L I U L T I M I GIORNI DELLA FINESTRA

per evitare eventuali sovrapposizioni che renderebbero ingestibile la situazione.

Il docente, A. Boccuto

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Cari studenti,
vi consiglio MOLTO CALDAMENTE di adottare questa strategia.
PARTECIPARE ALLE MIE LEZIONI CON IL MATERIALE DELLE MIE DISPENSE GIA’ STAMPATO.

Quindi, seguire DIRETTAMENTE CON IL MATERIALE CARTACEO DAVANTI e prendere appunti SOLAMENTE SUI MIEI COMMENTI DAL TESTO STAMPATO, senza riscrivere le formule che spiego. In questo modo, si segue con molta maggiore concentrazione, le cose restano molto più impresse e quando si riguarda la lezione (in particolare, quando si riguarda ANCHE la registrazione relativa), SI GUADAGNA MOLTO TEMPO NELL'APPRENDIMENTO!
In questo modo si risparmia almeno la metà del tempo, arrivando anche, se si è particolarmente motivati, al 70-80%!
Il docente, A. Boccuto

L'ESAME SI SVOLGE IN MODALITA' ORALE, SU TUTTO IL PROGRAMMA DA STUDIARE IN MODO MOLTO APPROFONDITO, CON ESERCIZI DA SVOLGERE E DA COMMENTARE SEDUTA STANTE.

LA PRENOTAZIONE VA FATTA SOLO PER EMAIL, E DA 10 A 7 GIORNI PRIMA DELLO SVOLGIMENTO DELL'ESAME. QUESTA E' UNA REGOLA MOLTO PRECISA DA RISPETTARE.

Particolare attenzione sarà curata sul fatto che lo studente deve sapere TUTTO IL PROGRAMMA ACCURATAMENTE NELLE VARIE SFACCETTATURE E SECONDO LE TECNICHE E LO SPIRITO USATI DURANTE IL CORSO. IL MATERIALE è costituito dall'UNIONE INSIEMISTICA DELLE DISPENSE DELLE VARIE PARTI DEL PROGRAMMA E DELLE MIE LEZIONI, IMPORTANTISSIME E FONDAMENTALI PER CHIARIRE "TRUCCHI" CHE EMERGONO DALLE DISPENSE. SI RACCOMANDA UNO STUDIO GIORNALIERO, PER RIMANERE SEMPRE IN PARO.

NON è CONSENTITO consultare niente, al di fuori della penna e calcolatrice scientifica piccola (senza NESSUNA TABELLINA DI FORMULE), pena l'annullamento della prova. In particolare i telefonini vanno consegnati prima della prova e vanno fatti vedere davanti a me. Una bottiglia d'acqua, comunque, non si nega a nessuno.

MATERIALE DIDATTICO "ADOTTATO", CHE SI DEVE USARE PER TUTTI GLI STUDENTI DI TUTTI GLI ANNI DI CORSO

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GLI STUDENTI DI TUTTI GLI ANNI DI CORSO SONO CALDAMENTE, FORTISSIMAMENTE INVITATI A SEGUIRE IL PROGRAMMA E IL MATERIALE DIDATTICO DELL' ULTIMO ANNO ACCADEMICO INDICATO IN QUESTA PAGINA WEB.

(CON RIFERIMENTO AL MATERIALE DIDATTICO FORNITO DAL DOCENTE, VALIDO PER T U T T I GLI STUDENTI, ANCHE PER QUELLI DEGLI ANNI PRECEDENTI)

INTEGRALI: DOMINI NORMALI rispetto all'asse x e all'asse y e VISUALIZZAZIONE GEOMETRICA. COME SI VEDE SE UN DOMINIO E' NORMALE. Integrali doppi con le coordinate cartesiane, formula di riduzione, DISEGNO E DESCRIZIONE (parametrizzazione del dominio), ESERCIZI (molto bene). Integrali doppi con le coordinate polari, cambiamento di coordinate, formula di riduzione, parametrizzazione del dominio, ESERCIZI (molto bene). TRASFORMAZIONE DA COORDINATE CARTESIANE A POLARI E FATTORE JACOBIANO.

N. B.: In "Eserciziario di ispirazione sugli integrali doppi", l'esercizio sulle coordinate polari da pag. 15 a pag. 21 è FACOLTATIVO.

INTEGRALI GENERALIZZATI E APPLICAZIONI ALLA PROBABILITA' E STATISTICA: Integrali generalizzati e impropri: esempi introduttivi. Collegamento profondo fra gli integrali doppi e gli integrali generalizzati - The probability integral con dimostrazione "come se fosse un esercizio" - Funzione Gamma con dimostrazioni "come se fossero esercizi" - Generalizzazione del fattoriale - Collegamento profondo fra la funzione Gamma e "the probability integral" (Gamma(1/2) e (1/2)!) - Applicazioni alla Probabilità e Statistica: distribuzione normale ed esempio del tiro al bersaglio, frequenze relative e densità di probabilità.

½!= Gamma (1/2+1)=Gamma (3/2), PER LA DEFINIZIONE DI GENERALIZZAZIONE DEL FATTORIALE, in quanto sappiamo che n!=Gamma(n+1) (cioè Gamma(n)=(n-1)! )

Gamma (3/2) è troppo difficile da un punto di vista tecnico, per un corso di Laurea in Informatica

Allora si calcola Gamma(1/2) COME ESERCIZIO, con l’integrale (cioè con la DEFINIZIONE)

½!= ½ che moltiplica Gamma (1/2) (per la formula importantissima b) sulla funzione Gamma)

SERIE: Come nasce una serie. Esempio di Achille e della tartaruga. Definizione di serie. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Se una serie converge, allora il limite del termine generale è zero (senza dimostrazione). Proprietà delle serie geometriche. Serie armoniche generalizzate. Delle seguenti proprietà c' è la dimostrazione, ma non sono “dimostrazioni teoriche”, sono "da ricavarsi come se fossero esercizi": Una serie a termini non negativi o converge o diverge; se il limite del termine generale esiste è diverso da zero (anche più infinito oppure meno infinito), allora la serie diverge.

Esempi di serie geometriche. Solo enunciato: Una serie non cambia il suo comportamento se si cambia solo un numero finito di termini. Criterio del confronto asintotico: solo enunciato. Criterio del confronto asintotico: esercizi. Criteri del confronto, del rapporto, della radice: solo enunciato, ed esercizi. Esempio (con i logaritmi) in cui si vede che il criterio del confronto asintotico non si può applicare, e allora bisogna usare il criterio del confronto. Criterio di condensazione di Cauchy (solo enunciato) e applicazione di esso per provare il comportamento della serie armonica generalizzata e della serie il cui termine generale è 1/(n (ln n)) (con dimostrazioni, "come se fossero esercizi"). Criteri di Leibnitz (enunciato con "visualizzazione", "disegnino"). Una serie assolutamente convergente è convergente (solo enunciato), ma non è vero il viceversa (esempio). Tecnica dello studiare una serie di segno qualsiasi "in valore assoluto". ESERCIZI VARI (MOLTO BENE). SCHEMA SU COME SI SVOLGE UNA SERIE.

N. B.: In "Eserciziario di ispirazione sulle serie: Esercizio test sulle serie da pag. 26 a pag. 31", la seconda metà di pagina 29 e la pagina 30 sono FACOLTATIVE; il resto, MOLTO BENE.

L'origine della formula di Taylor a partire dal significato geometrico della derivata. Sviluppo in serie delle funzioni elementari: esponenziale, seno, coseno, ln(1+x). Calcolo di limiti notevoli con la formula di Taylor (con dimostrazioni). Calcolo di limiti con la formula di Taylor: ESERCIZI (MOLTO BENE). (GUARDARE L'ESPONENTE DEL DENOMINATORE, CHE VIENE PRESO SEMPRE UN NUMERO INTERO POSITIVO!!!)

MASSIMI E MINIMI, HESSIANO, AUTOVALORI: Massimi e minimi relativi e assoluti: definizioni ed esempi con le linee di livello - I due modi per fare il grafico delle funzioni di due variabili (superfici nello spazio e LINEE DI LIVELLO) - Funzioni di due variabili: derivate parziali prime e seconde - Gradiente - Punti stazionari - Condizione necessaria dell'annullamento del gradiente (senza dimostrazione); questa condizione non è sufficiente (CON ESEMPI) - Hessiano - Test dell' Hessiano - Autovalori - Test dell'Hessiano con gli autovalori (senza dimostrazioni) - Esercizi (MOLTO BENE).

2) Si pongono le derivate prime =0 TUTTE E DUE CONTEMPORANEAMENTE e si calcolano i punti stazionari

4) Derivate seconde nei punti stazionari: si sostituiscono x ed y con le coordinate dei punti stazionari trovati (punto per punto)

5) Matrice Hessiana e determinante Hessiano nei punti stazionari, punto per punto

SCHEMA MOLTO UTILE PER APPLICARE IL TEST DELL’HESSIANO CON GLI AUTOVALORI SENZA NECESSARIAMENTE RISOLVERE L’EQUAZIONE det (A-λI)=0

det (A-λI)=0. Esprimiamola in modo tale che il coefficiente di λ^2 sia positivo, senza perdita di generalità. Per esempio, se viene – λ^2 +5 λ – 6=0, scriveremo l’equazione nella forma λ^2 - 5 λ + 6=0. E studiamo i segni dei coefficienti, nell’ordine, più precisamente da quello associato a λ^2 al termine noto, cioè da sinistra a destra.

+ 0 + λ^2 + 9 =0 NON PUO’ MAI ACCADERE NEI NOSTRI ESERCIZI, PERCHÉ SAPPIAMO CHE GLI AUTOVALORI SONO SEMPRE REALI!!!

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Da "Integrali doppi: testo adottato": Da pag. 1 a pag. 21: Integrali doppi: introduzione e significato geometrico: volume e area. Domini normali rispetto all'asse delle x e delle y. Come vedere se una figura "regolare" del piano cartesiano è un dominio normale oppure no. Esercizio 1 da pag. 18 a pag. 21 comprese (si prende un dominio C che è normale sia rispetto all'asse delle x che a quello delle y, e si fa vedere che il risultato è lo stesso indipendentemente dall'asse rispetto al quale C è considerato).

Ciò che non viene fatto esplicitamente viene lasciato per casa come esercizio. PER CASA: ESERCITARSI SU QUESTI ARGOMENTI IN PARTICOLARE FACENDO TANTI ESERCIZI, SIA DAL TESTO ADOTTATO SIA DALL'ESERCIZIARIO DI ISPIRAZIONE CORRISPONDENTI.

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Da "Integrali doppi: eserciziario di ispirazione": Esercizi a pag. 11 e a pag. 12 (con le coordinate cartesiane). Da "Parabola cubica e radice cubica": Spiegazione della dimostrazione a pag. 2 (che è la seconda dimostrazione del fatto che, per x compreso fra 0 e 1, il grafico della parabola cubica sta al di sotto del grafico della radice cubica). Da "Integrali doppi: testo adottato": Da pag. 35 all'inizio di pag. 44: Integrali doppi con le coordinate polari: spiegazioni, esempi con il semicerchio nord e la semicirconferenza che è la sua "frontiera", fattore "magico" Jacobiano della trasformazione che descrive il cambio di coordinate, e dimostrazione che questo fattore è uguale proprio a rho. Da "Integrali doppi: eserciziario di ispirazione": Esercizi a pag. 13 e a pag. 14 (con le coordinate polari).

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Da "Applicazioni degli integrali doppi e generalizzati alla probabilità e statistica" (Integrali generalizzati o impropri, Probability integral, Funzione Gamma, Esempio del tiro al bersaglio e distribuzione normale o Gaussiana): Da pag. 4 fino alla fine: TUTTO con tutte le dimostrazioni dettagliate. Le pag. 1, 2 e 3 sono lasciate per casa come esercizi.

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Da "Serie: testo adottato": da pag. 1 a pag. 9: Come nasce una serie: esempi della bottiglia d'acqua, di Achille e della tartaruga, di un numero decimale con il 9 periodico. Da "Eserciziario di ispirazione sulle serie": Esercizi sulle serie geometriche a pag. 6 e a pag. 0. Da "Serie: testo adottato": da pag. 9 a pag. 14: Serie armonica generalizzata. Una serie a termini positivi non è mai indeterminata (con dimostrazione). Se una serie converge, allora il limite del termine generale è uguale a 0, ma non è vero il viceversa (senza dimostrazione). Una serie non cambia il suo comportamento se si cambia soltanto un numero finito di termini (senza dimostrazione). Se il limite del termine generale esiste ed è diverso da zero (anche più o meno infinito), allora la serie DIVERGE (con dimostrazione). Esercizio su una serie geometrica con l'esponenziale. Schema iniziale dello studio di una serie (vedi anche le prime due pagine, 38 e 39, della cosiddetta "scheda didattica sulle serie").

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Da "Serie: testo adottato": da pag. 15 a pag. 31: Criteri per le serie a termini positivi: del confronto asintotico, del confronto, del rapporto, della radice, di condensazione di Cauchy (o della serie di Cauchy), con esempi ed esercizi (con riferimento a pag. 40, 41 e 42 delle pagine della cosiddetta "Scheda didattica sulle serie").

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Da "Serie: testo adottato": da pag. 32 a pag. 37: Criteri di Leibnitz per le serie a segni alterni: "dimostrazione grafico-intuitiva" con disegni, esempi ed esercizi (con riferimento a pag. 43 delle pagine della cosiddetta "Scheda didattica sulle serie"). Da "Eserciziario di ispirazione sulle serie": Esercizio di riepilogo da pag. 32 a pag. 35; esercizi sui criteri di Leibnitz a pag. 17, 14, 15 e 16.

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Da "La poesia delle serie di Taylor": tutta la dispensa: Approssimazione di una funzione mediante un polinomio (nascita di questo concetto partendo dalla definizione di derivata). Formula di Taylor-McLaurin (con il resto di Peano). Sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Taylor di e^x, sin x, cos x, ln(1+x). Esercizi: calcolo di limiti e di limiti notevoli attraverso Taylor. Da "Eserciziario di ispirazione sulle serie": Pag. 0 bis: esercizio sul criterio della radice; pag. 1: esercizio a) sul fattoriale (viene fuori una serie convergente la cui somma è uguale proprio al numero di Nepero e).

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Da "Eserciziario di ispirazione sulle serie": Esercizio b) a pag. 1 (criterio del rapporto), esercizio pag. 4 (rapporto o radice), esercizio pag. 5 (radice), esercizio pag. 7 (limite del termine generale), esercizio pag. 8 (confronto asintotico), esercizio pag. 10 (rapporto), esercizio pag. 12 (confronto asintotico).

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Da "Massimi e minimi: testo adottato": Da pag. 1 a pag. 10: Massimi e minimi assoluti e relativi, linee di livello, derivate parziali prime e seconde, matrice Hessiana.

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Da "Massimi e minimi: testo adottato": Da pag. 11 a pag. 24: Test dell'Hessiano con e senza autovalori. Definizione di autovalore. Esempi ed esercizi.

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Da "Massimi e minimi: eserciziario di ispirazione ": Esercizi su derivate parziali prime e seconde, condizione di annullamento del gradiente, test dell'Hessiano con e senza autovalori a pag. 1, 2, 8, 9, 12, 13. Da "Eserciziario di ispirazione sulle serie": Esercizio a pag. 3 (con COLLEGAMENTO MOLTO PROFONDO CON LA FUNZIONE GAMMA).

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Da "Ulteriori esercizi di riepilogo": esercizio sui massimi e minimi con e senza autovalori a pag. 1 e 2; schema a pag. 3 sulle variazioni e permanenze del trinomio di secondo grado che permette di ricavare i segni degli autovalori (e quindi, quasi sempre!, la natura del punto stazionario che si sta studiando); esercizio sul criterio del confronto asintotico a pag. 4; esercizi su calcolo di limiti con la formula di Taylor a pag. 327 e 328 .

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Da "Eserciziario di ispirazione sulle serie": Esercizio a pag. 11 (criterio del confronto asintotico) e a pag. 13 (criterio della radice). Da "Massimi e minimi: eserciziario di ispirazione ": Esercizio su derivate parziali prime e seconde, condizione di annullamento del gradiente, test dell'Hessiano con e senza autovalori a pag. 10 e 11. Da "Eserciziario di ispirazione sugli integrali doppi": esercizio con le coordinate polari a pag. 22.

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Da "Eserciziario di ispirazione sulle serie": Esercizio di riepilogo sulle serie da pag. 26 a pag. 31 (convergenza assoluta, criterio della radice, limite del termine generale, criteri di Leibnitz).

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Da "Eserciziario di ispirazione sulle serie": Esercizio di riepilogo sulle serie da pag. 20 a pag. 25 (convergenza assoluta, criterio della radice, limite del termine generale, criteri di Leibnitz).

Da "Ulteriori esercizi di riepilogo": esercizio a pag. 329 sul calcolo di un limite con la formula di Taylor.

Da "Integrali doppi: testo adottato": esercizio sulle coordinate polari da pag. 45 a pag. 47 comprese.

Vedi anche il seguente materiale didattico: "Esercizi su limiti con de l'Hopital e integrazione per sostituzione".

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Università degli Studi di Perugia

ANNI PRECEDENTI:

VALGONO LE STESSE REGOLE, LO STESSO PROGRAMMA E LO STESSO MATERIALE DIDATTICO DELL' ANNO ACCADEMICO 2025-2026.